Índice
Esta es la primera parte del temario que vamos a ver en Sistemas Operativos, vamos a verla toda en una sola entrada para que no se haga muy pesada, pero es importante comprenderla, ya que es el lenguaje de los ordenadores, y nos servirá tambien para el tema de redes.
Lo que vamos a ver en esta entrada es:
1. Representación numérica en una base
Dado un número x, su representación en una dada base b consiste en escribirlo como
donde el signo s es igual a 0 o 1 y los coeficientes aj son enteros positivos menores que b. En la vida real la suma tiene sólo un número finito de términos por lo que algunos números son sólo representados de forma aproximada. Usualmente, utilizamos el sistema decimal de numeración (b = 10) pero la representación numérica en sistemas digitales se realiza en general en base 2, denominado sistema de numeración binaria, y ocasionalmente en base 16 (sistema hexadecimal).
Los números se representan en memoria como una cadena de bits que pueden tomar los valores 0 ó 1. Se denomina byte a un grupo de 8 bits consecutivos.
2. Representación de números enteros
En representación binaria un número entero n se escribe como
- n = a 2 + a1 21 + a2 22 + a3 23 + …
donde cada coeficiente aj es igual a 1 ó 0. Usualmente los números enteros ocupaban 4 bytes de memoria (32 bits), aunque en las computadoras modernas se pueden usar enteros de 64 bits.
Los números que pueden almacenarse en la representación de 4 bytes están en el rango:
- nmin = (00000000000000000000000000000000)2 = (0)10
- nmax = (11111111111111111111111111111111)2 = 232 - 1 = (4294967295)10
para números enteros sin signo. Si se utiliza el primer bit de la izquierda como signo (0, positivo; 1, negativo) el rango se reduce a nmin = −2147483648 y nmax = 2147483647 para enteros con signo.
3. Representación de números reales
Las computadoras, con un número finito de bits, no pueden almacenar todos los números reales en forma exacta. Esto es similar a lo que ocurre con los números irracionales (como π, √2, etc), o periódicos (1/3, 1/11,…) en el sistema decimal. La forma convencional de almacenar números reales en la memoria de una computadora es mediante el método llamado punto flotante o floating point. Uno de los sistemas más comunes es la representación de números reales en simple precisión utilizada en la convención IEEE. En dicho sistema cada número de precisión simple ocupa 4 bytes (32 bits) que se destinan a: el signo (1 bit), un exponente (8 bits) y la parte fraccionaria de la mantisa (23 bits)1. De esta manera un número está determinado por estas tres cantidades
- x = (-1)s x 2exp-E x 1.mantisa
En esta representación, los 8 bits utilizados permiten que el exponente se encuentre en el rango 0 < exp < 255. Se utiliza la constante E = 127 para también obtener resultados negativos2 Observe que para ganar un bit, se omite la parte entera de la mantisa que se supone igual a 1. Esta representación se llama normalizada y se utiliza para todos los número, exepto aquellos muy grandes o muy pequeños. En particular, esta convención no permite representar el número 0.
3.1 Algunos ejemplos
Para aclarar los conceptos, veamos algunos ejemplos de números normalizados en precisión simple:
Entre paréntesis está representada la parte entera de la mantisa (que es igual a 1 siempre por convención.) Debe notarse que el número final se obtiene considerando que:
- El signo es positivo (bit de signo igual a 0)
- El exponente se obtiene como 131 - 127 = 4, que en sistema decimal da 24 = 16.
- La mantisa 1 + 241/1024 = 1,2353515625 se obtiene sumando: 1 (implícito), 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 y 1/1024.
Como segundo ejemplo veamos la conversión inversa, del número (3,375)10 a sistema binario. El bit de signo es 0. El número puede expresarse como la fracción 27/8 y es mayor que 2 por lo que debemos sacar un exponente positivo; en este caso, factorizamos por 21 y nos queda 27/16 que puede escribirse como
por lo que, después de eliminar la parte entera y agregando el signo y el exponente, el número es:
- (3,375)10 = (0 10000000 (1), 101100000000000000000000)2
Codificación básica (binaria)
Este sistema se caracteriza como hemos visto anteriormente por usar solo dos dígitos, 0 y 1. Es la forma más facil de operar para el ordenador.
Para pasar de decimal a binario hacemos lo siguiente: Dividir el número entre 2 hasta que el cociente sea menor o igual a 1, cuando terminemos, recogemos los resultados desde el último cociente hasta el primer resto. Por ejemplo, para pasar el número decimal 15 a binario: 15/2 -> resto 1, 7/2 -> resto 1, 3/2 -> resto 1, como el cociente de esta últmia división es menor o igual a 1, paramos. El número en binario sería desde el cociente de la división 3/2 (Que es 1), y todos los demas restos. Es decir, el número en binario se recoge de derecha a izquierda en los resultados de las divisiones. (15 en binario es 1111).
Para hacer el proceso contrario, pasar de binario a decimal, se han de numerar las posiciones (de derecha a izquierda y empezando por 0), se calcula de la forma base elevado a la posición por el bit (0 ó 1). Ejemplo:
- 13211
Y el resultado:
- 1010 -> (20) + (211) + (220) + (231) = 2+8 = 10(decimal)
Nota: En binario los número que acaban en 0 son pares, y en 1 impares.
Codificación octal
En este sistema se usan sígitos del 0 al 7.
Paso de decimal a octal
22 decimal a octal: Es un proceso similar al paso de decimal a binario, dividimos entre 8 y mientras el cociente sea mayor que 7. Ejemplo: 22/8 = cociente 2, resto 6. Por lo tanto 22 en octal es 26.
Para pasar de octal a decimal se sigue la misma regla, pero se multiplica por 8:
- 216
A decimal:
- (86) + (812) = 6 + 16 = 22 (decimal)
Codificación hexadecimal
En este sistema se usan sígitos del 0 al 16.
Paso de decimal a hexadecimal
162 a hexadecimal. Dividimos 162/16, que da 10 y resto 2, como el 2 es menor que 15, se para aquí. La solución seria el 102, pero en hexadecimal pasa lo siguiente:
10 -> A; 11 -> B; 12 -> C; 13 -> D; 14 -> E; 15 -> F;
Por lo que 162 en decimal sería el A2 en hexadecimal.
El paso contrario:
- A12 (Sustituimos la A por su valor A = 10)
A decimal:
- (16110) + (162) = 160 + 2 = 162 (decimal)
Binario a octal
Una opción es pasar de binario a decimal y de decimal a octal. Otra forma es agrupar el binario en 3 bits (Empezando por la derecha), leemos la secuencia de 3 bits de izquierda a derecha y escribimos el octal. Por ejemplo, 1100, agrupamos en 3 bits, 1 y 100, ahora escribimos los valores, para el primer grupo (En este caso de solo 1 bit), su valor es 1, para el segundo grupo (100) su valor es 4(En decimal), de forma que el 1100 en binario es el 14 en octal.
Binario a Hexadecimal
El mismo proceso que seguimos para pasar de binario a octal, pero agrupando en 4 bits. Por ejemplo 10100010 es el 162 en decimal, para pasarlo a hexadecimal hacemos grupos de 4 bits (empezando por la derecha) (0010) (1010), ahora escribimos sus valores en hexadecimal, el 1010 es el valor 10 en decimal, que en hexadecimal es el A, y el 0010 en decimal es el 2, que en hexadecimal es el 2. Por lo tanto: 10100010 en hexadecimal = A2
Hexadecimal a Octal
Para esta forma, es mejor pasar a binario, y de binario a octal (Agrupando de 3 en 3 bits.)
Octal a Hexadecimal
De octal a binario y de binario a hexadecimal (Agrupando de 4 en 4 bits.)
Otros sistemas de codificación
| Decimal | Exceso-3 | BCD (Decimal codificando en binario) | AIKEN | GRAY |
|---|---|---|---|---|
| 0011 | 0000 | 0000 | ||
| 1 | 0100 | 0001 | 0001 | 01 |
| 2 | 0101 | 0010 | 0010 | 11 |
| 3 | 0110 | 0011 | 0011 | 10 |
| 4 | 0111 | 0100 | 0100 | 000 |
| 5 | 1000 | 0101 | 1011 | 001 |
| 6 | 1001 | 0110 | 1100 | 011 |
| 7 | 1010 | 0111 | 1101 | 010 |
| 8 | 1011 | 1000 | 1110 | 110 |
| 9 | 1100 | 1001 | 1111 | 111 |
El BCD es una forma directa asignada a un equivalente binario. Es posible asignar cargas a los bits binarios de acuerdo a sus posiciones. Las cargas en el código BCD son 8, 4, 2, 1. Es una codificación binaria en 4 bits para representarla empaquetada o desempaquetada. La mayor representación de bcd, es de 9, y a partir de hay, cada numero lo clasifica. El 10 decimal seria en bcd, empaquetado de 4 bits el 0001 0000.
El exceso-3 le suma 3 al BCD. Es la mas rápida, y se fijaron que si le sumaban tres al BCD, a partir del 4, todos los números son los contrarios, es decir, 5 es el contrario de 4, 6 el contrario de 3…
El AIKEN se baso en BCD pero en vez de codificar de la forma 8421 (al pasar de binario a decimal es lo que hacemos) dijo que seria 2421. La razón de que lo hiciera, es que pasa lo mismo que en Exceso-3 a partir del 4.
Gray es el cambio de un bit, o sea, que de un numero a otro solo cambiará un bit.
Codificación negativa
A nivel de signo, se puede considerar como Signo/magnitud, Complemento a 1 o Complemento a 2. (Uso de Codificación binaria).
En signo/magnitud, el bit de más a la izquierda esta reservado para el signo, y el resto para la longitud, entonces el valor máximo a representar sera (2(n-1))*2 Para positivos y negativos, con lo cual tenemos un 0 para positivo y otro negativo, que se controla de manera interna en la maquina. El -7 en 8bits seria el 10000111.
El complemento a 1 es cambiar ceros por unos, Osea, que el 7 binario (111) en negativo es el (000), el dos en binario es el 10, para pasar a -2 en complemento a 1, seria 01 (-2)
El complemento a 2 se ideo para el problema de que el cero tenga positivos y negativos. Este cambia los ceros por unos y le suma uno al resultado. Entonces en complemento a 2 el 7 es 111, se pasan los unos a ceros, 000 y se le suma 1, 001 (-7 en complemento a 2).
Empaquetado y desempaquetado
DESEMPAQUETADO: (Se usa para transmitir) El uso de esto viene del manejo del BCD, ya que si metemos un 23 y un 71, al pasarlo a BDC, el pc recibe una cadena, al cogerlos de 4 en 4, el resultado es 2371, que no tiene nada que ver, para ello se empaqueta:
2 3 7 1
0010 0011 0111 0001
como en BCD el 1111 no existe, lo usa para marcar que va a empezar un numero, menos el que precede al ultimo. También usa el 1100(que no existe en BCD) para indicar que el numero será positivo, y el 1101(Tampoco existe) para negativo, seria:
2 3 7 + 1
1111 0010 1111 0011 1111 0111 1100 0001 → 2371
1111 0010 1111 0011 1111 0111 1101 0001 → -2371
2 3 7 - 1
Empaquetado
Se pone el numero y al final se añade el signo:
0010 0011 0111 0001 1100
2 3 7 1 +
1 En doble precisión se utilizan 64 bits (8 bytes): 1 para el signo, 11 para el exponente y 52 para la mantisa. 2 En la convención IEEE-754 el exponente varía en el rango [-126, 127] y se reservan los restantes valores para representar números muy pequeños y muy grandes.
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